电力系统优化五十年（译）
本综述回顾了过去五十年电力系统优化的演进，划分为 1970–1990 与 1990 年至今两个阶段。前者以全球普遍存在的集中式电力系统为特征；后者则转向市场环境下的分散式结构，伴随可再生能源与先进技术的日益融合，同时部分国家仍保留集中式结构。围绕投资、运行规划、运行、控制与预测这几类主要电力系统问题，本文梳理了各阶段针对具体问题类型所应用的运筹学方法，揭示了运筹学在应对变化格局与先进技术挑战中的关键作用，并展望了未来的研究方向。
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原文信息：A. Kaya, A. J. Conejo, and S. Rebennack, “Fifty years of power systems optimization,” European Journal of Operational Research, vol. 329, no. 1, pp. 1–23, 2026, doi: 10.1016/j.ejor.2025.05.022。
译注：原文中的图、表标题保留英文原貌；文中数学公式由译者依据原文重排。参考文献编号与原文一一对应。
1 引言
随着 Dantzig 于 1947 年提出单纯形法，线性规划（linear programming, LP）逐渐发展成为一种实用方法
直到 20 世纪 90 年代，集中式电力系统结构在全球范围内都较为常见。在集中式电力系统中，系统运营商对全部发电、输电与配电决策拥有完整权限。调度决策的计算需要在满足网络与生产约束的同时，使网络中每个节点的需求满足总成本最小
过去五十年里，优化模型、算法与决策支持工具已经成为处理电力系统复杂性的关键手段。1970 至 1990 年期间，电力系统优化主要依赖 LP，尽管最早一批纳入离散决策、非线性和不确定参数的研究已经出现。在这一时期，分解技术作为一种求解方法，主要用于投资、机组组合与水库优化问题。随后，由于对离散决策、非线性、不确定参数和分散式结构的需求不断增加，优化模型变得更加复杂。这一演进推动了混合整数线性规划（mixed-integer linear programming, MILP）和混合整数非线性规划（mixed-integer nonlinear programming, MINLP）在 LP 之外的广泛使用。在这一背景下，二阶锥（second-order cone, SOC）和混合整数二阶锥（mixed-integer second-order cone, MISOC）模型也被开发出来。随着非线性刻画能力的增强，为响应不断演变的分散式结构，带均衡约束的均衡问题（equilibrium problems with equilibrium constraints, EPEC）和带均衡约束的数学规划（mathematical program with equilibrium constraints, MPEC）也被引入（Fig. 1）。近年来，电力系统中不确定性水平不断上升，促使研究者发展了基于随机规划（stochastic programming, SP）、鲁棒优化与模糊逻辑的多种模型。考虑不确定性表征、概率与风险程度等因素时，必须选择适当的方法来处理不确定性。面对这些新兴挑战，电力系统领域也发展出新的求解方法与算法，以提高所得解的可靠性与鲁棒性。
需要指出的是，本文关注与电力系统优化相关的主题。因此，本文考察电力系统中的主要问题，包括投资、运行规划、运行、控制和预测（Fig. 1）。这些主要问题本身并不构成完整的电力系统分析，但它们反映了电力系统优化研究的主要脉络。投资问题考虑从数年到数十年的规划范围，需要确定与发电机组、输电线路和配电系统相关的决策。运行规划问题可覆盖从数天到数年的时间尺度，包含线路、变压器和发电机的检修计划、燃料采购计划以及水火电调度。运行问题通常跨越数分钟至数天，用于确定排程与调度决策。控制问题旨在确保整个电力系统稳定，其时间范围从实时到数分钟不等。为此，本文回顾过去五十年中塑造电力系统优化领域的优化模型与求解方法的关键特征。如前所述，由于本文覆盖电力系统优化这一宽泛主题，我们必须聚焦若干选定主题，以界定主要研究流派。这一点尤其重要，因为电力系统领域处在经济学、电气工程和运筹学的交叉处，而本文重点采用运筹学视角。
本文将电力系统优化分为两个独立部分进行分析。第一部分覆盖 1970 年至 20 世纪 90 年代的早期阶段，其特征是集中式结构与垄断属性。第二阶段从 20 世纪 90 年代延续至今，既考虑分散式结构，也考虑一些国家至今仍适用的集中式结构。特别地，第二阶段不仅包括分散式结构下的优化模型与求解方法，也涵盖集中式结构下的近期方法进展。因此，本文将分析组织为两个历史阶段，以考察电力系统优化的演进。尽管两种运行范式下的一些求解方法仍然相似，但它们表现出显著差异。伴随电力系统运行范式的转变，需要作出这种区分的方面包括计算能力、运筹学方法、可再生能源的纳入、先进技术的使用，以及监管和环境要求；这些方面自 20 世纪 90 年代以来均有实质性发展。
本文余下部分安排如下。第 2 节回顾早期阶段（1970–1990），重点讨论集中式框架。第 3 节讨论近期阶段（1990 年至今），回顾分散式框架以及集中式结构中的更新方法。第 4 节强调未来研究的关键方向，第 5 节总结全文。本文末尾的 Table 6 汇总了缩略语。
2 早期阶段：集中式运行与规划（1970–1990）
2.1 概述
本节聚焦 1970 至 1990 年间的集中式运行与规划。在集中式框架中，电力系统运营商拥有完整的技术与成本数据，并对电力系统具有完全控制权。尽管从 1947 年 LP 被提出到 1990 年间，计算设备与软件有所进步，但这些进展仍不足以克服求解大规模问题时的计算限制
2.2 投资
电力系统扩展规划旨在优化发电机组、输电线路和配电系统的投资与退役策略，并确定规模、位置与时机。在集中式框架下，其目标是在考虑技术、经济和环境约束的同时，以最低成本保障电力需求供应
2.2.1 发电扩展规划（generation expansion planning, GEP）——MILP、分解法
发电扩展规划（GEP）旨在识别最优的发电机组合（类型、位置与投建时间），以在较长时间范围内满足未来电力需求。扩展规划模型是 20 世纪 50 年代 LP 技术最早的应用之一
文献中有两类主要方式来表述 GEP 问题：静态方式与动态方式。静态方式只在规划期开始时设置一个决策点，并不决定每台机组何时建设，而是决定这些机组是否应建设。动态方式则在规划期内不同阶段确定发电扩展决策，因此决定每座电厂是否建设以及何时建设。动态方式比静态方式更准确，但预期解质量的提高以计算复杂度增加为代价。动态方式通常被视为多阶段问题，并通过分解方法求解
动态 GEP 问题可表述为如下 MILP 模型
\((G)\quad \min \ \sum_{t\in T}\sum_{h\in H}\left[\sum_{i\in G} C^E_{it}p^E_{iht}+\sum_{n\in N} C^N_{nt}p^N_{nht}\right]\) \(+\sum_{t\in T}\sum_{n\in N} I^N_{nt}p^{N\max}_{nt} \qquad\text{(1a)}\)
\(\text{s.t. } p^{N\max}_{nt}=\sum_{q\in Q}u_{nqt}\bar P^{N\max}_{nqt} \quad \forall n\in N,t\in T \qquad\text{(1b)}\)
\(\sum_{q\in Q}u_{nqt}\le 1 \quad \forall n\in N,t\in T \qquad\text{(1c)}\)
\(\sum_{i\in G}p^E_{iht}+\sum_{n\in N}p^N_{nht}=\sum_{d\in J}P^D_{dht} \quad \forall h\in H,t\in T \qquad\text{(1d)}\)
\(0\le p^E_{iht}\le P^E_{it} \quad \forall h\in H,i\in G,t\in T \qquad\text{(1e)}\) \(0\le p^N_{nht}\le \sum_{\tau\le t}p^{N\max}_{n\tau} \quad \forall h\in H,n\in N,t\in T \qquad\text{(1f)}\)
\(p^{N\max}_{nt}\ge0,\quad u_{nqt}\in\{0,1\} \qquad\text{(1g--1h)}\)
其中，\(p^{N\max}_{nt}\) 是非负决策变量，表示第 \(t\) 年为新发电机组 \(n\) 建设的容量；参数 \(\bar P^{N\max}_{nqt}\) 表示第 \(t\) 年新机组 \(n\) 的候选投资容量块 \(q\)；二元变量 \(u_{nqt}\) 决定第 \(t\) 年是否选择候选容量 \(q\)。非负决策变量 \(p^E_{iht}\) 与 \(p^N_{nht}\) 分别表示既有机组 \(i\) 与新机组 \(n\) 在第 \(t\) 年小时 \(h\) 的出力。参数 \(P^D_{dht}\) 表示需求 \(d\) 在第 \(t\) 年小时 \(h\) 的负荷；\(C^E_{it}\)、\(C^N_{nt}\) 与 \(I^N_{nt}\) 分别表示既有机组生产成本、新机组生产成本和投资成本。目标函数 (1a) 表示包含发电成本与投资成本的总成本。约束 (1b) 定义新发电厂容量；约束 (1c) 保证每年至多选择一个选项；约束 (1d) 建立发电与需求平衡；约束 (1e) 与 (1f) 分别限制既有与候选发电机组供应的电量。
自 20 世纪 50 年代以来，LP 一直作为 GEP 的基础方法使用。通过连续变量，投资决策被用于在考虑预算约束的同时满足电力需求
2.2.2 输电扩展规划（transmission expansion planning, TEP）——MILP、分解法
输电扩展规划（TEP）旨在确定输电网络的扩展决策，包括输电线路建设的时间、位置和类型，以满足未来电能需求
一个基本 TEP 问题可表述为 MILP 模型
\((T)\quad \min \ \sum_{t\in T}\sum_{\ell\in L}I^L_{\ell t}x^L_{\ell t}\) \(+\sum_{t\in T}\sum_{h\in H}\left[\sum_{i\in G}C^E_{it}p^E_{iht}+\sum_{d\in J}C^{LS}_{dt}p^{LS}_{dht}\right] \qquad\text{(2a)}\)
\(\text{s.t. } \sum_{\ell\in L_P} I^L_{\ell t}x^L_{\ell t}\le I^{L,\max}_t,\quad \sum_{t\in T}x^L_{\ell t}\le1 \qquad\text{(2b--2c)}\)
\(\sum_{i\in G_N}p^E_{iht}-\sum_{\ell|s(\ell)=n}p^L_{\ell ht}+\sum_{\ell|r(\ell)=n}p^L_{\ell ht}\) \(=\sum_{d\in J_N}(P^D_{dht}-p^{LS}_{dht}) \qquad\text{(2d)}\)
\(p^L_{\ell ht}=B_\ell(\theta_{s(\ell)ht}-\theta_{r(\ell)ht}) \qquad\text{(2e)}\)
\(p^L_{\ell ht}=\left(\sum_{\tau\le t}x^L_{\ell\tau}\right)B_\ell(\theta_{s(\ell)ht}-\theta_{r(\ell)ht}) \qquad\text{(2f)}\)
\(-F^{\max}_{\ell t}\le p^L_{\ell ht}\le F^{\max}_{\ell t} \qquad\text{(2g)}\)
\(\quad 0\le p^E_{iht}\le P^{E,\max}_i \qquad\text{(2h)}\)
\(\quad 0\le p^{LS}_{dht}\le P^{D,\max}_d \qquad\text{(2i)}\)
\(-\pi\le \theta_{nht}\le\pi,\quad x^L_{\ell t}\in\{0,1\} \qquad\text{(2j--2k)}\)
其中，\(x^L_{\ell t}\) 是二元变量，决定第 \(t\) 年是否建设输电线路 \(\ell\)；\(p^E_{iht}\) 表示机组 \(i\) 在第 \(t\) 年小时 \(h\) 的发电功率；\(p^L_{\ell ht}\) 表示线路 \(\ell\) 的潮流；\(p^{LS}_{dht}\) 表示切负荷；\(\theta_{nht}\) 表示节点 \(n\) 的电压相角。参数 \(I^L_{\ell t}\)、\(C^E_{it}\) 与 \(C^{LS}_{dt}\) 分别表示输电线路投资成本、发电成本和切负荷成本；\(B_\ell\) 与 \(F^{\max}_{\ell t}\) 分别表示线路电纳与容量。目标函数 (2a) 最小化投资、运行和切负荷成本。约束 (2b) 保证新输电线路投资成本不超过预算；约束 (2c) 保证每条候选线路在规划期内至多建设一次；约束 (2d) 强制节点功率平衡；约束 (2e) 与 (2f) 分别定义既有线路与候选线路的潮流。约束 (2f) 是非线性的，但通常使用足够大的常数 \(M\) 重构为线性不等式。其余约束给出潮流、发电、失供需求与电压相角范围。
自 20 世纪 70 年代以来，LP
2.2.3 配电扩展规划（distribution expansion planning, DEP）——MILP
配电系统是电力系统的重要组成部分，连接输电设施与终端消费者。配电扩展规划（DEP）涉及确定配电系统组成部分，即变电站与馈线的最优扩展策略。配电系统中的一组变电站通过馈线相互耦合；因此，保证变电站与馈线具有充足容量，是配电扩展规划的基本要求
DEP 问题的一般 MILP 表述可写为
\((D)\quad \min \ \sum_{i\in G}\sum_{j\in B}\left(C^V_{ij}p_{ij}+C^F_{ij}y_{ij}\right) \qquad\text{(3a)}\)
\(\text{s.t. } \sum_{j\in B}p_{ij}=S_i \quad \forall i\in G \qquad\text{(3b)}\)
\(\sum_{i\in G}p_{ij}=D_j \quad \forall j\in B \qquad\text{(3c)}\)
\(0\le p_{ij}\le U_{ij}y_{ij} \quad \forall i\in G,j\in B \qquad\text{(3d)}\)
\(y_{ij}\in\{0,1\} \quad \forall i\in G,j\in B \qquad\text{(3e)}\)
其中，\(y_{ij}\) 是二元变量，用于决定是否建设馈线 \(ij\)；非负决策变量 \(p_{ij}\) 表示从供给节点 \(i\in G\) 到需求节点 \(j\in B\) 的潮流。目标函数 (3a) 最小化馈线运行成本 \(C^V_{ij}\) 与投资成本 \(C^F_{ij}\)。约束 (3b) 保证每个供给节点向所有需求节点的总潮流等于该供给节点的可用容量 \(S_i\)；约束 (3c) 保证流向每个需求节点的总潮流等于该节点需求 \(D_j\)；约束 (3d) 根据馈线是否建设来限制馈线潮流。
自 20 世纪 70 年代以来，LP 已用于配电扩展规划。Crawford 和 Holt 使用 LP 处理变电站选址问题
2.3 运行规划
运行规划是电力系统中的中期优化框架。在这一阶段，需要考虑发电机与输电设施检修、燃料采购和水火电调度等规划内容。需要注意的是，中期时间范围内的不准确决策会影响后续运行，并可能导致不利后果。
2.3.1 燃料采购——LP、MILP
燃料采购是依赖一次燃料进行生产的电力生产商面临的关键优化问题。鉴于 20 世纪 70 年代以来燃料市场出现显著成本上涨（例如石油价格冲击），燃料价格成为影响总发电成本的重要因素
燃料采购通常来自两类来源。第一类是照付不议协议（燃料合同），要求电力生产商按合同约定的最低数量付款（无论是否实际提货）；第二类是用于短期交易的现货市场，其成本往往显著更高。因此，燃料采购问题通常可表述为如下 LP 模型
\((F)\quad \min\ \sum_{t\in T}\sum_{i\in N}\left(C^C_i g^C_{it}+C^P_t g^P_t\right) \qquad\text{(4a)}\)
\(\text{s.t. } \beta\left(\sum_{i\in N}g^C_{it}+g^P_t\right)\ge D_t \quad \forall t\in T \qquad\text{(4b)}\)
\(N^C_i\le g^C_{it}\le M^C_i \quad \forall i\in N,t\in T \qquad\text{(4c)}\)
\(0\le g^P_t\le M^P \quad \forall t\in T \qquad\text{(4d)}\)
其中，\(C^C_i\) 表示合同 \(i\) 的燃料成本，\(C^P_t\) 表示时段 \(t\) 的现货市场燃料成本；\(g^C_{it}\) 与 \(g^P_t\) 分别为从燃料合同 \(i\) 和现货市场采购的数量。参数 \(\beta\) 是燃料到电力的固定转换比例；\(M^C_i\) 与 \(M^P\) 分别为合同和现货采购量上界；\(N^C_i\) 是合同规定的最低采购量。模型 (4a) 通过照付不议协议和现货市场采购燃料以最小化总成本。约束 (4b) 要求每个时段发电商输出满足总需求；约束 (4c) 与 (4d) 分别限制合同与现货采购量。
燃料采购与机组组合的结合会形成 MILP 模型。动态规划与线性规划
2.3.2 发输电资产检修——MILP
输电设施与发电机的定期检修对于降低突发故障风险具有基础作用。这些故障可能导致意外的短期运行中断，影响系统可靠性。尽管采取了预防措施，输电线路与发电机仍可能发生故障，进而造成高运行成本和未满足电力需求。在这种情况下，必须及时进行纠正性检修。在集中式运行系统中，检修计划由中心统一制定，并综合考虑成本、可靠性和安全性等完整数据。
发电机检修计划（generator maintenance scheduling, GMS）问题决定何时停机检修，以在最小化相关成本的同时保障可靠运行。二元变量用于确定每台发电机在每个时间窗口内的状态。这一离散组成部分将 GMS 转化为 MILP 问题。当目标函数主要关注保持可靠性和最小化成本时，检修时间窗口、需求和网络等因素作为约束处理
TMS 问题通常可表述为 MILP 模型
\((M)\quad \min\ \sum_{t\in T}\sum_{i\in G} C_i p_{it} \qquad\text{(5a)}\)
\(\text{s.t. } \sum_{i\in G_N}p_{it}-\sum_{j\in J_N}D_{jt}-\sum_{\ell|s(\ell)=n}B_\ell(\theta_{s(\ell)t}-\theta_{r(\ell)t})\) \(+\sum_{\ell|r(\ell)=n}B_\ell(\theta_{s(\ell)t}-\theta_{r(\ell)t})=0 \qquad\text{(5b)}\)
\(|B_\ell(\theta_{s(\ell)t}-\theta_{r(\ell)t})|\le F^{\max}_{\ell t}+K^M_\ell x_{\ell t}-K^F_\ell u_{\ell t} \qquad\text{(5c)}\)
\(0\le P_i^{\min}\le p_{it}\le P_i^{\max},\quad x_{\ell t}\le x_{\ell(t+v)} \qquad\text{(5d--5e)}\)
\(\quad x_{\ell t}=0,\quad x_{\ell t}\in\{0,1\} \qquad\text{(5f--5g)}\)
其中，连续决策变量 \(p_{it}\) 是机组 \(i\) 在时段 \(t\) 的出力；二元变量 \(x_{\ell t}\) 表示线路 \(\ell\) 在时段 \(t\) 的计划检修；二元指标 \(u_{\ell t}\) 表示线路 \(\ell\) 是否中断，通常作为不确定参数定义。参数 \(C_i\) 为机组发电成本；\(K^M_\ell\) 表示线路 \(\ell\) 预防性检修带来的输电容量增加，\(K^F_\ell\) 表示线路 \(\ell\) 中断导致的容量降低；\(B_\ell\) 与 \(F^{\max}_{\ell t}\) 分别表示线路电纳与容量；\(D_{jt}\) 是需求点 \(j\) 的负荷；\(V\) 是最小检修持续时间。目标 (5a) 在满足发电机容量约束 (5d)、线路容量约束 (5c) 和需求要求 (5b) 的同时最小化总成本。约束 (5e) 与 (5f) 设置最小检修持续时间。约束 (5c) 可通过拆分绝对值关系改写为：
\(-B_\ell(\theta_{s(\ell)t}-\theta_{r(\ell)t})\le F^{\max}_{\ell t}+K^M_\ell x_{\ell t}-K^F_\ell u_{\ell t}\quad\) \(\forall \ell\in L,t\in T \qquad\text{(6a)}\)
\(B_\ell(\theta_{s(\ell)t}-\theta_{r(\ell)t})\le F^{\max}_{\ell t}+K^M_\ell x_{\ell t}-K^F_\ell u_{\ell t}\quad\) \(\forall \ell\in L,t\in T \qquad\text{(6b)}\)
在这一时期（早期至 20 世纪 90 年代），动态规划通常用于求解 GMS 问题。自 20 世纪 70 年代以来，MILP 被用于建模 GMS 与 TMS 问题
2.3.3 水火电调度——LP、MILP、NLP
水电调度对于有效管理水电厂发电至关重要。其目标是在满足运行与环境约束的基础上，通过确定水库水位、弃水量与发电用水量等决策，使总成本最小。水火电调度问题（hydro-thermal scheduling problem, HTSP）管理径流式水电厂、水库水电厂以及火电厂组合的电力生产。火电厂被策略性地用于补偿水电厂因入流不确定而产生的发电波动，同时保证电力需求得到满足。需要注意的是，只要有水可用，水电生产基本没有运行成本。因此，若将水留在水库中，水便具有未来价值。将水用于发电时存在相应机会成本，即所谓水价值；它取决于水库规模、水库水位、入流、入流不确定性和火电发电成本等因素。
HTSP 通常需要至少一年的优化范围，以刻画水库系统水电入流的季节变化。由于入流不确定，HTSP 主要被建模为多阶段随机问题。为便于说明，下面给出基本 HTSP 的确定性 NLP 表述
\((H)\quad \min\ \sum_{t\in T}\left(\sum_{j\in G}C^T_{jt}p_{jt}+C^{LS}_t u_t\right) \qquad\text{(7a)}\)
\(\text{s.t. } v_{i,t+1}=v_{it}-x_{it}-y_{it}+\sum_{h\in H_i}(x_{ht}+y_{ht})+A_{it}:\mu_{it} \quad\) \(\forall i\in H,t\in T \qquad\text{(7b)}\)
\(\sum_{j\in G}p_{jt}+\sum_{i\in H}f_{it}(x,h)=D_t-u_t \quad \forall t\in T \qquad\text{(7c)}\)
\(V^{\min}\le v_{i,t+1}\le V^{\max},\quad X^{\min}\le x_{it}\le X^{\max} \qquad\text{(7d--7e)}\)
\(\quad P^{\min}\le p_{jt}\le P^{\max} \qquad\text{(7f)}\)
其中决策变量 \(p_{jt}\)、\(y_{it}\)、\(x_{it}\)、\(v_{it}\) 和 \(u_t\) 分别表示火电厂 \(j\) 的发电量、弃水量、发电用水量、水库 \(i\) 的水位以及未满足需求。集合 \(H_i\) 包含位于水库 \(i\) 直接上游的水电厂。参数 \(C^T_{jt}\) 表示发电成本，\(C^{LS}_t\) 表示切负荷成本，\(A_{it}\) 表示（不确定）入流。Fig. 2 展示了含四个水库的水电系统。出力由水电生产函数决定，该函数实际上是发电用水量 \(x_{it}\) 与净水头 \(h^{net}_{it}\) 的非线性函数。水电生产函数可写为
\(f_{it}(x,h)=\eta\rho_i h^{net}_{it}x_{it} \qquad\text{(8a)}\)
其中，\(\eta\) 是固定值（\(9.81\times10^{-3}\)），包含重力加速度、水密度和单位能量转换因子；\(\rho_i\) 是水库 \(i\) 将过机水量转化为电能时的效率。净水头可表示为：
\(h^{net}_{it}=h^f_{it}(v)-h^{tail}_{it}(y)-h^{loss}_{it} \qquad\text{(9a)}\)
其中，\(h^f_{it}\) 表示依赖水量 \(v_{it}\) 的前池水位，\(h^{tail}_{it}\) 表示依赖水库 \(i\) 与弃水量 \(y_{it}\) 的尾水位，\(h^{loss}_{it}\) 表示压力管道水头损失。目标 (7a) 最小化供电总成本。等式 (7b) 强制水量平衡，约束 (7c) 表示需求平衡，(7d)–(7f) 给出水库水位、发电用水量和火电出力的边界。与 (7b) 相关的对偶值 \(\mu_{it}\) 是每个阶段与每个水库的水价值。多数 HTSP 模型对水电生产函数使用线性近似：
\(f_{it}(x,h)=g_i x_{it} \qquad\text{(10a)}\)
其中参数 \(g_i\) 与水电厂 \(i\) 的水电生产特性相关。关于这一时期水库管理与运行数学模型的深入讨论，可参见 Yeh 的综述
2.4 运行
2.4.1 最优潮流（optimal power flow, OPF）——NLP
最优潮流（OPF）是电力系统中的经典优化工具。过去五十年里，OPF 一直是重要且受到广泛研究的非线性、非凸优化问题。它可有效用于从长期规划到实时调整等广泛规划范围内的决策
经典 OPF 问题的表述可追溯到 20 世纪 60 年代
\((O)\quad \min\ \sum_{i\in G} C_i(p^G_i) \qquad\text{(11a)}\)
\(\text{s.t. } P_i(V,\delta)=p^G_i-p^L_i \quad \forall i\in N \qquad\text{(11b)}\)
\(Q_i(V,\delta)=q^G_i-q^L_i \quad \forall i\in N \qquad\text{(11c)}\)
\(0\le P^{G,\min}_i\le p^G_i\le P^{G,\max}_i \quad \forall i\in G \qquad\text{(11d)}\)
\(Q^{G,\min}_i\le q^G_i\le Q^{G,\max}_i \quad \forall i\in G \qquad\text{(11e)}\)
\(0\le V^{G,\min}_i\le V^G_i\le V^{G,\max}_i \quad \forall i\in N \qquad\text{(11f)}\)
\(\delta^{G,\min}_i\le \delta^G_i\le \delta^{G,\max}_i \quad \forall i\in N \qquad\text{(11g)}\)
该模型旨在最小化总发电成本。非负变量 \(p^G_i\) 是发电机 \(i\) 的有功出力，\(q^G_i\) 是无功出力。约束 (11b) 是有功潮流方程，表示从发电机流向负荷的实际功率；约束 (11c) 是与电压水平相关的无功潮流方程。约束 (11d)–(11g) 给出发电容量、电压范围和潮流范围，以保证系统平衡运行。Fig. 3 给出了一个小型 OPF 示例，展示了母线、支路与负荷。包含交流（alternating current, AC）潮流方程 (11b)–(11c) 的 OPF 模型 (11a)–(11g)，依据成本函数 \(C_i(\cdot)\) 的形式，是一个非线性、非凸连续规划。AC 潮流方程可以等价地采用极坐标或直角坐标表示。极坐标形式与电压幅值 \(V\)、电压相角 \(\delta\)、导纳 \(Y\) 和导纳角 \(\theta\) 相联系。约束 (11b)–(11c) 的极坐标形式如下
\(P_i(V,\delta)=V_i\sum_{k=1}^N V_kY_{ik}\cos(\delta_i-\delta_k-\theta_{ik}) \qquad\text{(12a)}\)
\(\quad Q_i(V,\delta)=V_i\sum_{k=1}^N V_kY_{ik}\sin(\delta_i-\delta_k-\theta_{ik}) \qquad\text{(12b)}\)
若将电压 \(\tilde V_i=E_i+jF_i\) 与导纳 \(\tilde Y_{ik}=G_{ik}+jB_{ik}\) 写成直角坐标，并使用虚数单位 \(j\) 分离潮流方程中的实部与虚部，则 (11b)–(11c) 可重写为直角坐标形式
\(P_i(E,F)=\sum_{k=1}^N\left[G_{ik}(E_iE_k+F_iF_k)+B_{ik}(F_iE_k-E_iF_k)\right]\) \(\qquad\text{(13a)}\)
\(Q_i(E,F)=\sum_{k=1}^N\left[G_{ik}(F_iE_k-E_iF_k)-B_{ik}(E_iE_k+F_iF_k)\right]\) \(\qquad\text{(13b)}\)
由 (13a)–(13b) 和二次成本函数 \(C_i(\cdot)\) 形成的模型是非凸二次约束二次规划。OPF 模型可纳入事故与安全约束、备用要求、可再生政策约束和稳定性约束等额外因素。概括而言，这些扩展引入额外变量，其中一些具有离散性质，从而形成混合整数非线性问题
2.4.2 经济调度（economic dispatch, ED）——LP、NLP
经济调度（ED）问题通过确定发电出力来最小化发电机组成本。机组组合问题（见第 2.4.3 节）的解确定哪些机组在线，并作为 ED 问题的输入，用于确定规划期内每台机组的最优出力。ED 问题最早形成于 20 世纪 20 年代，当时对优化发电经济分配新方法的需求已日渐显现
由于发电出力通常被视为连续变量，ED 问题经常表示为线性规划。不过，ED 也被作为非线性优化问题研究。火电厂二次成本函数
ED 的目标是在满足发电机组运行与技术约束的同时，以最低成本确定每台发电机的实际出力以满足需求。ED 可表述为如下 LP 模型
\((E)\quad \min\ \sum_{t\in T}\sum_{i\in G}C_i^Vp_{it} \qquad\text{(14a)}\)
\(\text{s.t. }\sum_{i\in G}p_{it}=P^D_t \quad \forall t\in T \qquad\text{(14b)}\)
\(0\le P_i^{\min}\le p_{it}\le P_i^{\max} \quad \forall i\in G,t\in T \qquad\text{(14c)}\)
其中，\(p_{it}\) 是发电机 \(i\) 在小时 \(t\) 的实际出力，\(P^D_t\) 是小时 \(t\) 的负荷。目标 (14a) 在满足平衡等式 (14b) 和边界 (14c) 的同时最小化发电成本。用于求解 ED 的线性优化方法包括单纯形法
2.4.3 机组组合（unit commitment, UC）——MILP
机组组合（UC）是电力系统运行中具有重要实践意义且被广泛研究的优化问题。它旨在确定发电机组的最优排程。为了在给定规划范围（通常为一天）内满足总需求，UC 需要识别哪些机组应被安排发电，同时满足其技术约束
UC 通常表述为 MILP 模型，并使用二元变量表示机组开停状态。为得到混合整数线性规划，表述中的某些方面可被松弛，例如采用线性化成本函数。考虑含 \(G\) 台机组的电力系统以及规划期 \(T\) 内每小时预测需求 \(P^D_t\)，UC 的目标是在满足需求和系统约束的同时，最小化机组总运行成本。确定性 UC 可表述为
\((U)\quad \min\ \sum_{t\in T}\sum_{i\in G}(C^F_i u_{it}+C^V_i p_{it}\) \(+C^{SU}_i y_{it}+C^{SD}_i z_{it}) \qquad\text{(15a)}\)
\(\text{s.t. }y_{it}-z_{it}=u_{it}-u_{i,t-1},\quad y_{it}+z_{it}\le1 \qquad\text{(15b--15c)}\)
\(P_i^{\min}u_{it}\le p_{it}\le P_i^{\max}u_{it} \qquad\text{(15d)}\)
\(p_{it}-p_{i,t-1}\le R^U_i u_{i,t-1}+R^{SU}_i y_{it},\quad p_{i,t-1}-p_{it}\le R^D_i u_{it}+R^{SD}_i z_{it}\) \(\qquad\text{(15e--15f)}\)
\(\sum_{i\in G}p_{it}=P^D_t,\quad p_{it}\ge0,\quad u_{it},y_{it},z_{it}\in\{0,1\} \qquad\text{(15g--15i)}\)
其中，\(u_{it}\) 表示机组 \(i\) 在时段 \(t\) 是否在线；\(p_{it}\) 是出力；\(y_{it}\) 与 \(z_{it}\) 分别表示启动与停机决策；\(R^U_i\)、\(R^D_i\)、\(R^{SU}_i\) 和 \(R^{SD}_i\) 分别为向上爬坡速率、向下爬坡速率、启动爬坡速率和停机爬坡速率约束。目标函数 (15a) 最小化固定成本、变动成本、启动成本和停机成本之和。约束 (15b)–(15c) 规定停机操作仅适用于当前在线的机组，启动操作仅适用于当前离线的机组。约束 (15d) 限制机组出力，约束 (15e)–(15f) 表示爬坡限制，等式 (15g) 保证每个时段机组出力满足总需求。
过去五十年里，为求解 UC 开发了大量算法，包括精确方法、（元）启发式方法和混合算法。20 世纪 70 年代末和 80 年代初，动态规划成为求解 UC 的工具，可处理复杂约束并纳入多个运行条件和系统状态
作为 UC 的重要扩展，网络约束机组组合（network-constrained unit commitment, NCUC）问题于 20 世纪 80 年代提出。NCUC 将输电网络约束纳入 UC，可视为 UC 与 ED 的结合。其目标是在满足输电网络约束的前提下，获得使总发电成本最小的发电排程。由于存在 AC 约束，当前主要使用半定规划和二阶锥表述等凸松弛技术以及分解方法来求解 NCUC 与安全约束机组组合（security-constrained unit commitment, SCUC）问题，第 3.4 节将对此进行讨论。
2.5 控制
电力系统需要将频率与电压维持在规定运行水平。电力系统控制是一个动态过程，通过优化并协调多种控制机制以保障整个电力系统稳定
2.5.1 频率与无功（最优）控制
在电力系统中，负荷可能不可预测地波动，导致系统频率出现不期望的偏差。这些偏差会对电力运行产生显著影响。最优频率控制旨在将电力系统频率维持在规定范围内
\(\sum_{i\in G} r_i \ge R^{\min} \qquad\text{(16a)}\)
\(r_i\le R^{\max}_i\quad \forall i\in G \qquad\text{(16b)}\)
最优无功控制与 OPF 问题是电力系统优化中的相关概念。无功功率对于将电压维持在可接受范围并保障可靠运行至关重要。最优无功控制通过调节无功出力，在满足需求和运行约束的同时最小化网损并保持电压稳定。通常，最优无功控制是一个非线性优化问题，可表述为
\((C)\quad \min\ P_{loss}+\lambda_V\sum_{i=1}^{NQ^*}(V_i-V_i^*)\) \(+\lambda_Q\sum_{i=1}^{NV^*}(q_i^G-q_i^{G*})\qquad\text{(17a)}\)
\(\text{s.t. } p_i^G-p_i^L-V_i\sum_{k=1}^N V_kY_{ik}\cos(\delta_i-\delta_k-\theta_{ik})=0 \qquad\text{(17b)}\)
\(q_i^G-q_i^L-V_i\sum_{k=1}^N V_kY_{ik}\sin(\delta_i-\delta_k-\theta_{ik})=0 \qquad\text{(17c)}\)
\(\text{(11d)--(11g).} \qquad\text{(17d)}\)
该模型与第 2.4.1 节的 OPF 模型类似。目标函数第一项表示网损，且
\(P_{loss}=\sum_{i=1}^N p_i^G-\sum_{i=1}^N p_i^L.\)
第二项通过参考电压 \(V^*\) 和惩罚成本 \(\lambda_V\) 维持电压稳定，第三项通过参考无功功率 \(Q^*\) 和惩罚成本 \(\lambda_Q\) 调节无功功率。等式 (17b)–(17c) 为平衡约束。在集中式框架下，线性规划、梯度法和内点法是文献中最常用于最优无功控制的方法。
2.5.2 状态估计——NLP
状态估计旨在利用冗余测量识别系统最可能的“状态”。状态估计器的输出为安全、控制和经济调度等用途提供实时信息。状态估计器的数据包括潮流、注入功率和电压测量。
由于状态估计是非线性规划问题，研究中采用了包括线性近似在内的多种技术。加权最小二乘（weighted least squares, WLS）算法于 20 世纪 60 年代末被引入静态状态估计
\((S)\quad \min \sum_{k\in K} W_k\left(H_k(x_1,\ldots,x_S)-Z_k\right)^2 \qquad\text{(18a)}\)
其中，\(K\) 是测量集合；\(H_k\) 是基于测量 \(k\in K\) 确定的状态变量 \(x_1,\ldots,x_S\) 的函数；\(W_k\) 表示测量 \(k\) 的权重；\(Z_k\) 是测量值，包括潮流、注入功率和电压。解耦算法也被提出
2.6 预测
在集中式框架中，由于缺乏市场动态且可再生技术有限，预测方法主要关注电力需求与商品价格。本节聚焦需求与电价预测，它们对于优化电力生产、促进负荷管理以及辅助系统规划和运行至关重要。
2.6.1 需求与电价预测——时间序列及其他方法
准确了解未来需求，在管理发电、分配负荷和规划其他基础设施等决策中具有关键作用。需求预测按时间范围可分为短期、中期和长期。在集中式框架下，电力需求预测主要依赖历史负荷数据和用户消费模式。直到 20 世纪 90 年代，电力需求预测主要使用线性方法，并假定过去的负荷模式及其关系会以线性方式延续。线性模型的选择受到其简洁性和计算适用性的影响
需求预测主要围绕依赖时间序列分析的传统方法展开。此外，专家评估等定性技术也被采用。多元回归是线性回归的扩展，它考虑多个自变量，旨在确定电力负荷与天气条件等自变量之间的联系
\(Y_t=\phi_0+\varepsilon_t+\sum_{p\in P}(\phi_pY_{t-p}-\theta_p\varepsilon_{t-p}) \qquad\text{(19a)}\)
其中，\(p\) 是时间序列的滞后阶数；\(Y_t\) 是时刻 \(t\) 的观测值；\(\varepsilon_t\) 是时刻 \(t\) 的随机误差项；\(\phi\) 为自回归参数，\(\theta\) 为滑动平均参数。这里的目标是根据过去观测 \(Y_{t-1},Y_{t-2},\ldots,Y_{t-p}\) 预测 \(Y_t\)。自 20 世纪 70 年代以来，燃料价格预测对于依赖燃料发电的电力生产商一直很重要。直到 20 世纪 90 年代，石油、煤炭和天然气是使用最广泛的燃料。燃料价格预测主要使用传统统计方法，尤其是移动平均、自回归模型等时间序列分析模型。
3 近期阶段：分散式（与集中式）运行与规划（1990 年至今）
3.1 概述
本节聚焦 1990 年至今的分散式运行与规划。同时，本文也介绍同一时期集中式运行与规划的近期方法。自 20 世纪 90 年代以来，全球许多电力系统发生了显著变化，包括向自由化市场环境转型、依赖天气的发电显著增加，以及储能和控制系统取得进步
3.2 投资
集中式结构中的扩展规划通常旨在最小化总成本或最大化社会福利。然而，在分散式框架中，电力公司的目标是通过投资决策最大化利润，并考虑未来预期价格及潜在投资收益
3.2.1 生产商发电投资——MPEC、EPEC
在分散式结构中，电力生产商参与能源市场，并通过作出最优投资决策实现利润最大化。基于这一目标，生产商希望利用市场出清结果作为短期运行决策的一部分以实现自身利益。分散式结构中的发电扩展问题通常采用双层模型：上层寻找使利润最优的投资决策，下层问题用于刻画不同的市场出清情景
发电扩展问题的 MPEC 可表述为
\((I)\quad \min\ \sum_{h\in H}\left[\sum_{i\in G}C_i^E p^E_{ih}+\sum_{n\in N}C_n^N p^N_{nh}\right]\) \(+\sum_{n\in N}I_n^N p_n^{N\max} \qquad\text{(20a)}\)
\(\text{s.t. }0\le p_n^{N\max}\le \bar P_n^{N\max} \qquad\text{(20b)}\)
\(\sum_{i\in G}p^E_{ih}+\sum_{n\in N}p^N_{nh}=\sum_{d\in J}P^D_{dh} \qquad\text{(20c)}\)
\(0\le p^E_{ih}\le P_i^{E\max} \qquad\text{(20d)}\)
\(0\le p^N_{nh}\le p_n^{N\max} \qquad\text{(20e)}\)
\(C_i^E-\lambda_h+\mu_{ih}^{E\max}\ge0 \qquad\text{(20f)}\)
\(C_n^N-\lambda_h+\mu_{nh}^{N\max}\ge0 \qquad\text{(20g)}\)
\(\mu_{ih}^{E\max}\ge0 \qquad\text{(20h)}\)
\(\mu_{nh}^{N\max}\ge0 \qquad\text{(20i)}\)
\(\sum_{i\in G}C_i^E p^E_{ih}+\sum_{n\in N}C_n^Np^N_{nh}\) \(=\lambda_h\sum_{d\in J}P^D_{dh}-\sum_{i\in G}\mu_{ih}^{E\max}P_i^{E\max}-\sum_{n \in N}\mu_{nh}^{N\max}p_n^{N\max} \qquad\text{(20j)}\)
GEP 是一个嵌套问题，可分解为上层投资问题与下层市场出清问题。在将 MPEC 展开为单层问题时，使用原始-对偶表述写出最优性条件。因此，可以用市场出清问题的原始约束、对偶约束和强对偶等式替代市场出清问题。\(p_n^{N\max}\) 是对应上层问题的投资决策；\(p^E_{ih}\) 与 \(p^N_{nh}\) 是小时 \(h\) 每种市场条件下的下层运行决策。\(C_i^E\) 与 \(C_n^N\) 分别为既有机组与新机组生产成本，\(P^D_{dh}\) 是小时 \(h\) 的需求负荷。等式 (20j) 是强对偶等式，要求市场出清问题的原始和对偶目标函数最优值相同。约束 (20c)–(20e) 是市场出清问题的原始约束，(20f)–(20i) 是对偶约束。\(\lambda_h\) 是等式约束 (20c) 的对偶值，也称边际市场价格；\(\mu_{ih}^{E\max}\) 与 \(\mu_{nh}^{N\max}\) 表示不等式约束 (20d)–(20e) 的对偶值。
市场导向 GEP 的方法已被广泛研究（Table 4）。此外，在集中式与分散式结构中处理不确定性也取得进展。Baringo 和 Conejo 在分散式环境下提出用于风电投资决策的 MPEC
为刻画相关运行成本与约束，投资问题通常会纳入运行问题。这会形成具有较短时间分辨率的大规模模型，从而增加计算负担。文献中提出了一些建模工作，用于处理长期规划范围且短时间分辨率的投资问题。Zhang 等提出多时间尺度建模方法，相比标准多阶段表述可降低模型规模，并能够考虑不同层级的不确定性
3.2.2 输配电设施投资——MILP、MINLP
在分散式框架中，独立主体管理输电设施的运行与扩展。从这一角度看，TEP 通常仍是集中式的，这是分散式框架下 TEP 与 GEP 的关键区别。TEP 的目标是在提高可靠性的同时最小化总发电成本
虽然 GEP 的目标是最大化每个电力生产商利润，但从集中式视角也可将其与 TEP 联合求解，以实现输电与发电设施协调扩展。关于输电与发电扩展规划，Sharan 和 Balasubramanian 提出综合模型，并展示了集成发输电扩展规划的收益
3.3 运行规划
在分散式框架中，电力生产商与市场运营商之间存在利益冲突。电力生产商提高自身利润，而市场运营商旨在维持可靠、安全的系统
3.3.1 发输电检修计划——MILP、EPEC
检修计划对于保障电力系统平稳运行至关重要。GMS 与 TMS 的检修计划必须经过谨慎设计，以在考虑电力生产商之间冲突利益的同时保证系统安全性和可靠性。GMS 可独立处理，也可与 TMS 一并处理。分散式结构通常包含与集中式结构相同的约束。此外，政策、市场要求等市场化约束，以及排放水平等环境约束也被纳入分散式结构
GMS 问题通常采用 MILP 表述。为优化生产商利润并保证可靠性，需要协调电力生产商和市场运营商之间的检修计划
Marwali 和 Shahidehpour 提出基于对偶理论的短期输电线路检修调度分解方法
3.3.2 期货市场生产商模型（风险控制）——SP
在电价作为供需均衡主要决定因素的市场环境中，买卖双方均面临金融风险。实物期权中的风险调整通常通过引入市场价格数据所对应的概率分布进行
为在考虑价格风险时确定最优对冲策略，文献提出了多种方法。Kaye 等使用远期合约来降低利润波动风险
3.3.3 消费者购电（风险控制）——SP
在电力市场中，大用户旨在通过电力市场、合同、自发电、风电和太阳能等可再生能源、储能系统以及需求响应来降低成本
3.3.4 水火电调度——SP
向市场环境转型使 HTSP 在入流不确定性之外又增加了一类不确定性：电力市场价格。这带来一个概念性困难，即（水）价值函数在价格和入流维度上呈鞍形。因此，SDDP 中使用的 Benders 型割不能再直接应用。该背景下最早的工作之一对价格进行离散化，从而得到凹价值函数
参与电力市场的水电厂必须决定其最优竞价策略
水电生产函数是发电用水量和净水头效应的非线性函数。为更真实地表征水电发电特征，这会产生非线性水火电问题。研究者使用线性化技术建立 MILP 模型以考虑水头效应
3.4 运行
电力市场通常由用于长期交易的期货市场和用于短期交易的电力池组成。电力池包括日前市场、部分地区的日内市场以及实时市场。此外，用于维持未来发电与用电能量平衡的备用市场也可被视为日前市场。本节讨论的电力运行优化问题主要与电力池中的短期交易有关。市场出清拍卖尤其适用于欧洲电力市场，而 UC 和 ED 问题在美国市场中更常用
3.4.1 市场出清工具——MILP、SP
在欧洲语境下，市场出清机制运行在分散式框架中。电力生产商竞争出售其发电量，电力消费者提交购电竞价。市场运营商通过评估生产商报价和消费者竞价，在保障市场安全可靠的同时，确定每个生产商出力、每个消费者需求以及市场出清价格
单时段拍卖可表述为 LP 模型
\((A)\quad \max\ \sum_{j\in D}C_j^D p_j^D-\sum_{i\in G}C_i^G p_i^G \qquad\text{(21a)}\)
\(\text{s.t. }\sum_{j\in J}p_j^D=\sum_{i\in G}p_i^G:\lambda \qquad\text{(21b)}\)
\(0\le p_j^D\le P_j^{D\max} \quad \forall j\in D \qquad\text{(21c)}\)
\(0\le p_i^G\le P_i^{G\max} \quad \forall i\in G \qquad\text{(21d)}\)
其中，非负决策变量 \(p_i^G\) 表示生产商 \(i\) 的出力，\(p_j^D\) 表示消费者 \(j\) 的负荷。生产商 \(i\) 具有容量 \(P_i^{G\max}\) 与边际成本 \(C_i^G\)，消费者 \(j\) 具有容量 \(P_j^{D\max}\) 与效用成本 \(C_j^D\)。目标函数 (21a) 最大化 Fig. 4 阴影区域所示社会福利，即已接受消费竞价（蓝线）与已接受生产报价（红线）之间的面积。约束 (21c) 与 (21d) 分别限制需求与发电，约束 (21b) 保证功率平衡。市场出清价格（Fig. 4）对应约束 (21b) 的对偶值，记为 \(\lambda\)。
已有研究提出 MILP 以高效优化日前多时段拍卖出清过程，并考虑火电厂技术限制
在美国，通过求解优化问题来确定机组排程、发电调度和出清价格。因此，UC、ED 与安全分析是美国电力市场中的关键问题。这些问题可以以多种组合集成，以应对不同挑战
随着近期发展，OPF 因纳入可靠性与安全性、使用储能系统以及集成先进控制装置和智能电网连接等额外约束而变得更加复杂。松弛技术、稀疏矩阵方法与先进算法相结合，促进了更复杂 OPF 的求解
近期，提高电力系统可靠性和集成智能电网动态结构成为 UC 面临的热门挑战
安全约束 AC 机组组合方面，理想 SCUC 模型应包含 AC 约束以准确表示系统。然而，AC 约束会增加 SCUC 模型求解复杂度
安全约束 DC 机组组合方面，安全评估通常在 SCUC 中使用简化 DC 模型，将其转化为 MILP 以提高计算效率。但它缺乏显式母线电压和无功数据，且潮流计算精度有限
随机机组组合方面，大量研究讨论了随机 UC 问题
3.4.2 报价/竞价算法——LP
电力生产商和消费者作为主要主体参与市场环境。生产商为各发电单元确定生产报价，消费者为其计划用电确定竞价。两类主体向电力市场提交报价和竞价以交易能源，这些报价与竞价由市场运营商评估并用于市场出清，从而确定市场出清价格（第 3.4.1 节）。电力生产商在能源市场中需要解决识别最优报价策略这一复杂任务。文献中通常使用自调度问题。对生产商 \(i\)，其可表述为 MILP 模型
\(\begin{multline*} (B)\quad \max\ \sum_{t\in T}\left[\lambda_t p_{it}-(C_i^F u_{it}\right.\\ \left.+C_i^V p_{it}+C_i^{SU}y_{it}+C_i^{SD}z_{it})\right] \qquad\text{(22a)} \end{multline*}\)
\(\text{s.t. } y_{it}-z_{it}=u_{it}-u_{i,t-1},\quad y_{it}+z_{it}\le1 \qquad\text{(22b--22c)}\)
\(p_{it}-p_{i,t-1}\le R_i^Uu_{i,t-1}+R_i^{SU}y_{it} \qquad\text{(22d)}\)
\(\quad p_{i,t-1}-p_{it}\le R_i^D u_{it}+R_i^{SD}z_{it} \qquad\text{(22e)}\)
\(P_i^{\min}u_{it}\le p_{it}\le P_i^{\max}u_{it},\quad u_{it},y_{it},z_{it}\in\{0,1\} \qquad\text{(22f--22g)}\)
模型 (22a)–(22g) 与第 2.4.3 节说明的模型类似，主要区别在目标函数。生产商 \(i\) 的目标是在电力市场中通过获得最优报价最大化利润。目标函数 (22a) 中第一项 \(\lambda_t p_{it}\) 是生产商 \(i\) 的总收入，第二项表示其总成本。
文献中用于最优报价策略的方法很多。Simoglou 等提出用于生产商最优报价策略的 MILP
专门针对消费者竞价策略的研究相对有限。Strbac 等考察电力市场中的多种需求侧竞价结构，并探索其对总成本或边际价格等因素的影响
3.5 控制
电力控制是电力系统中将频率和电压维持在可接受范围内的重要工具。分散式框架、可再生技术和储能系统的利用，以及系统拓扑技术的发展，使频率控制与状态估计的模型和方法发生变化。
3.5.1 频率与无功控制
可再生能源，尤其是光伏（photovoltaic, PV）和风电技术在电力系统中接入比例的提高，对传统频率控制机制产生显著影响。传统机制通常通过调整发电来维持负荷稳定。光伏和风电等可再生能源可使用储能系统（energy storage system, ESS），在不平衡情况下提供额外有功功率
3.5.2 状态估计——NLP
随着拓扑技术和电力系统观测能力发展，状态估计问题复杂性增加，非线性函数也随之增多。自 2000 年代以来，状态估计中的凸松弛方法主要用于应对这些挑战。此外，由于向分散式结构转型，分解算法的使用也在增加。为处理非线性函数，Gauss-Newton 法和 Newton-Raphson 法是早期方法，但不能保证全局最优。Zhu 和 Giannakis 将 SDP 松弛用于非线性 AC 电力系统的状态估计
3.6 预测
自 20 世纪 90 年代以来，随着电力系统向市场化系统转型并日益采用可再生技术，需求预测方法也不断演进以适应市场环境变化。此外，电价和可再生发电预测对于电力生产商与消费者的重要性也不断提高。
3.6.1 需求预测——时间序列及其他方法
需求预测在电力市场中的相关性不断增强。电力生产商需要可靠的能源需求估计，以有效制定报价。不准确预测会导致运行成本增加或资源利用率下降。包括 ARMA、ARIMA 在内的时间序列模型仍然在需求预测中具有重要意义，可用于捕捉需求数据中的历史模式和季节性。然而，考虑需求响应、市场结构和环境因素等近期发展，需求预测中主要出现了非线性函数。为应对这些挑战，新的方法被用于需求预测。支持向量机被用于数据分类与回归
3.6.2 电价预测——时间序列及其他方法
电价预测，尤其是电力以及 \(CO_2\) 等商品价格预测，已成为电力生产商和消费者在电力市场中的重要因素
3.6.3 可再生发电预测——时间序列及其他方法
近几十年来，可再生技术占比显著增长，除水电外，太阳能和风电已成为可再生能源的主要组成部分。由于可再生能源渗透率提高，可再生能源出力对市场出清价格的影响日益明显
3.6.4 水电入流预测——时间序列及其他方法
水电厂入流是一个随机过程，具有不确定性并依赖水库天气条件。ARIMA、AR 和 ARMA 等时间序列模型已用于入流预测。文献中还提出周期自回归（periodic autoregressive, PAR）
4 未来研究方向
近年来，运筹学在处理非凸性方面取得了显著进展
自由化市场结构引入了具有挑战性的环境，其特征是市场出清过程和定价机制的建立。这一框架使每个电力生产商和消费者具有各自独立目标，从而导致市场内部利益冲突。市场环境相关研究强调了处理分散式结构的需求。为应对这些需求，EPEC 与 MPEC 得到发展。然而，近期文献中，作为求解方法的分散式算法和分解算法的使用需求也在增加。
电力市场中的总成本，包括固定成本和非线性成本函数，表现出非凸特征。在非凸市场中建立最优价格是一项重要挑战。在边际定价机制下，电力生产商在非凸市场中可能无法回收其成本，从而产生所谓”成本回收缺口”（missing money）问题。已有若干价格机制被提出，主要聚焦短期。将长期容量扩展与不同定价机制结合，是一个潜在研究方向
间歇性供应商以边际价格进入电力市场的比例提高，会带来越来越多问题。我们已经观察到负电价时段，例如德国市场中的情形。当风电和太阳能等间歇性供应拥有较大装机容量并以零边际成本报价时，零边际价格也会成为常态。因此，需要新的市场模型。预计新的市场模型将带来新的、有挑战性的运筹学问题。
自 20 世纪 90 年代以来，不确定性下电力系统优化的需求上升。可再生能源渗透率提高，以及在具有详细时间和空间信息的情况下管理不确定性与风险因素，使大规模问题求解更加复杂。为在不确定性下获得稳健且自适应的决策过程，结合不同不确定性模型近年来成为潜在研究领域。例如，需要以独特方式结合鲁棒优化、随机优化、分布鲁棒优化和模糊性等方法，以更好刻画现有不确定性的不同性质。除建模挑战外，求解算法也必须调整以适应新的模型结构。
电力部门与交通（通过电动汽车）、供热与制冷，以及氢能（用于储能）等其他部门耦合，也是一个新兴研究方向。挑战既存在于建模侧，也存在于求解算法侧。当在一个框架内结合多个部门的详细模型时，真实世界模型规模会非常庞大。
电力系统问题通常具有长时间范围内重复决策的特征。例如，在投资问题中，运行问题可能具有小时级甚至 15 分钟级分辨率。这会产生数以万计的小模型，而这些模型之间耦合相对较弱，例如通过爬坡约束或电池/水库水位耦合。弱耦合模型的其他例子包括多区域模型，例如若干区域互联电网。利用这种弱耦合结构的算法，是处理真实世界电力系统问题最有前景的一类方法。多时间尺度建模是一种高效方法，它将原问题分解为阶段间与阶段内组成部分，以处理不同层级的不确定性
5 结论
本文回顾了过去五十年电力系统优化的演进，并聚焦主流模型及其求解方法。本文考察了 1970 至 1990 年以及 1990 年至今两个不同阶段。两个阶段均围绕控制、运行、运行规划、投资和预测等电力系统问题展开讨论。第一阶段覆盖集中式框架下的经典数学模型与早期求解方法。第二阶段则呈现集中式与分散式结构下的近期优化模型和求解方法。过去五十年中，电力系统在技术、监管框架和环境考量方面经历了显著变化。除电力系统本身外，运筹学领域也取得了重要进展，本文展示了这些发展如何影响电力系统优化模型的演进。最后，本文提出了电力系统优化方法发展与改进的若干有前景机会。
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